Доказательство иррациональности √2

Теорема

$\sqrt{2}$ иррационально — не может быть представлено в виде $\frac{p}{q}$, где $p, q$ — целые числа без общих делителей.

Доказательство от противного

Предположим $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ в несократимом виде (т.е. $\gcd(p, q) = 1$).

Возведём в квадрат: $2 = \frac{p^2}{q^2}$, значит $p^2 = 2q^2$.

Так как $p^2$ чётное, $p$ тоже чётное (квадрат нечётного нечётен). Запишем $p = 2r$.

Подставляя: $(2r)^2 = 2q^2 \Rightarrow 4r^2 = 2q^2 \Rightarrow q^2 = 2r^2$.

Значит $q^2$ чётное, а значит $q$ тоже чётное.

Но если и $p$, и $q$ чётные, у них есть общий делитель 2 — противоречие с условием $\gcd(p, q) = 1$. $\blacksquare$