Доказательство иррациональности корня из 2: интерактивный разбор

Теорема

$\sqrt{2}$ иррационален — его нельзя представить в виде $\frac{p}{q}$, где $p, q$ — целые числа без общих делителей.

Доказательство от противного

Предположим, что $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ и дробь несократима, то есть $\gcd(p, q) = 1$.

Возведём обе части в квадрат: $2 = \frac{p^2}{q^2}$, откуда $p^2 = 2q^2$.

Раз $p^2$ чётно, то и $p$ чётно — квадрат нечётного числа нечётен. Запишем $p = 2r$.

Подставим: $(2r)^2 = 2q^2 \Rightarrow 4r^2 = 2q^2 \Rightarrow q^2 = 2r^2$.

Значит, $q^2$ чётно, а вместе с ним чётно и $q$.

Но если $p$ и $q$ оба чётны, у них есть общий делитель 2 — а мы предположили, что $\gcd(p, q) = 1$. Противоречие. $\blacksquare$

Карточка ниже проходит то же рассуждение по строке за раз и проверяет каждую строку на паре, которую выбираете вы. Тащите $p/q$ по числовой прямой или задайте $p$ и $q$: ✓ отмечает строку, верную для вашей пары. Как ни выбирай, первая строка (взаимная простота) и восьмая (обе чётны) вместе не выполняются, а $p^2 - 2q^2$ никогда не равно нулю. «Следующий почти-корень» перебирает дроби, которые подходят ближе всего, — каждая промахивается ровно на единицу.

Почему это работает

Доказательство держится на одном наблюдении: чётность $p^2$ вынуждает чётность $p$. Обратное неверно для произвольных множителей — из того, что $p^2$ делится на 4, не следует, что $p$ делится на 4. Работает именно простое число: если простое $d$ делит $p^2$, то $d$ делит $p$.

Поэтому тот же ход доказывает иррациональность $\sqrt{d}$ для любого простого $d$, и он же ломается на $\sqrt{4}$ — четвёрка не простая, и никакого противоречия не возникает.

Второй способ увидеть то же самое — бесконечный спуск. Из пары $(p, q)$ получается пара $(q, r)$ строго меньших чисел с тем же свойством, из неё — ещё меньшая, и так бесконечно. Бесконечно убывающей последовательности натуральных чисел не существует, значит не существует и исходной пары.

Nikolay Eremeev, Senior Data Infrastructure Engineer. Пишет о том, что строит в продакшене. CV ·hi@nikolay-eremeev.com